Вывод третьего закона кеплера

Первый закон Кеплера


Планеты Солнечной системы движутся по эллиптическим орбитам. В одном из фокусов такой орбиты находится Солнце. Мы проиллюстрировали первый закон Кеплера рисунком.

На нем изображена планета, чья масса меньше массы звезды. Звезда находится в одном из фокусов эллипса, по которому движется планета. Точкой Р мы обозначили ближайшую к звезде траекторию, носящая название перигелия. Точка А – это наиболее удаленная от звезды точка траектории, которая называется афелием.
Точка А – это наиболее удаленная от звезды точка траектории, которая называется афелием. Большая ось эллипса располагается между точками афелии и перигелия.

Рисунок 1.24.2. Эллиптическая орбита планеты массой m В Солнечной системе все планеты за исключением Плутона движутся по орбитам, которые близки к круговым.

Третий закон Кеплера

Третий постулат о движении небесных тел в Солнечной системе как раз касается понятий перигелия и афелия. Если провести между ними условную линию, получится большая ось траектории обращения планеты.

Соответственно, половина этого отрезка – большая полуось.Кеплер на основании наблюдений вывел, что отношение полных оборотов вокруг центральной звезды для двух любых планет системы, возведенных в квадрат, всегда равняется отношению больших полуосей орбитальных путей этих тел, возведенных в куб.Трудность в доказательстве и принятии трех законов состояла в том, что он вывел их эмпирически.

Но в конце 17 века Ньютоном был открыта классическая теория тяготения.

Он и помог установить правильность суждений немецкого астронома и описал движение планет по эллипсу вокруг Солнца. Ньютон установил, что кроме массы объекта и его удаления от звезды никакие другие свойства не влияют на гравитационное притяжение.Также Ньютон внес корректировки и в третий постулат Кеплера. Он открыл, что для соблюдения соотношения необходимо учитывать массу космического объекта.

Данная трактовка третьего закона помогает установить массу планеты или спутника, зная величину его орбиты и период обращения.Законы Иоганна Кеплера помогли установить форму планетарной траектории, вычислить период обращения планет, их скорость и ее изменения по мере приближения и удаления от Солнца.

Ученый вывел Землю из ранга особенных астрономических объектов системы и установил, что она подчиняется всем трем законом, как и любая другая планета нашей звездной системы.Комментировать0похожие записи из этого раздела

Мкс

Коль скоро на сайте завелись «разоблачители», утверждающие, что математика — это ересь, а гравитационного притяжения между планетами вообще не существует, давайте посмотрим, как закон всемирного тяготения позволяет описать явления, установленные эмпирическим путем. Ниже представлено математическое обоснование первого закона Кеплера.

1. Исторический экскурс Для начала вспомним, как вообще этот закон появился на свет. В 1589 году некто Иоганн Кеплер (1571 — 1630) — выходец из бедной немецкой семьи — заканчивает школу и поступает в Тюбингенский университет.

Там он занимается математикой и астрономией. Причем его учитель профессор Местлин, будучи тайным поклонником идей Коперника (гелиоцентрическая система мира), преподает в университете «правильную» теорию — систему мира Птолемея (т.е.

геоцентрическую). Что, впрочем, не мешает ему познакомить своего ученика с идеями Коперника, и вскоре тот сам становится убежденным сторонником этой теории. Иоганн Кеплер В 1596 году Кеплер издает свою «Космографическую тайну». Хотя работа представляет сомнительную научную ценность даже по тем временам, тем не менее она не остается незамеченной для датского астронома Тихо Браге, который вел астрономические наблюдения и вычисления уже на протяжении четверти века.

Тот замечает самостоятельность мышления молодого ученого и знания им астрономии. С 1600 года Иоганн работает помощником Браге.

После его смерти в 1601 году Кеплер начинает изучать результаты трудов Тихо Браге — данные многолетних астрономических наблюдений. Дело в том, что к концу XVI века прусские таблицы (таблицы движения небесных тел, вычисленные на основе учений Коперника) стали давать существенные расхождения с наблюдаемыми данными: ошибка в положении планет доходила до 4-50.

Для решения проблемы Кеплер был вынужден усложнить теорию Коперника. Он отказывается от идеи о том, что планеты движутся по круговым орбитам, что в конечном итоге позволяет ему решить проблему с расхождением теории с наблюдаемыми данными. Согласно его выводам, планеты движутся по орбитам, имеющим форму эллипса, причем Солнце находится в одном из его фокусов.

Так что расстояние между планетой и Солнцем периодически меняется.

Этот вывод известен как первый закон Кеплера. 2. Математическое обоснование Посмотрим теперь, как первый закон Кеплера согласуется с законом всемирного тяготения. Для этого выведем закон движения тела в гравитационном поле, обладающем сферической симметрией. В этом случае выполняется закон сохранения момента импульса тела $\vec{L}=[\vec{r},\vec{p}]$.
В этом случае выполняется закон сохранения момента импульса тела $\vec{L}=[\vec{r},\vec{p}]$.

Это значит, что тело будет двигаться в плоскости, перпендикулярной вектору $\vec{L}$, причем ориентация этой плоскости в пространстве неизменна. В таком случае удобно использовать полярную систему координат $(r, \phi)$ с началом в источнике гравитационного поля (т.е.

вектор $\vec{r}$ перпендикулярен вектору $\vec{L}$). Т.е. одно из тел (Солнце) мы помещаем в начало координат, и ниже выведем закон движения второго тела (планеты) в этом случае. Нормальная и тангенциальная составляющие вектора скорости второго тела в выбранной системе координат выражаются следующими соотношениями (здесь и далее точка означает производную по времени): $$ V_{r}=\dot{r}; V_{n}=r\dot{\phi} $$ Закон сохранения энергии и момента импульса в этом случае имеют следующий вид: $$E = \frac{m\dot{r}^2}{2}+\frac{m(r\dot{\phi})^2}{2}-\frac{GMm}{r}=const \hspace{3cm}(2.1)$$ $$L = mr^2\dot{\phi}=const \hspace{3cm}(2.2)$$ Здесь $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса центрального тела, $m$ — масса «спутника», $E$ — полная механическая энергия «спутника», $L$ — величина его момента импульса.

Выражая $\dot{\phi}$ из (2.2) и подставляя его в (2.1), получаем: $$ E = \frac{m\dot{r}^2}{2}+\frac{L^2}{2mr^2}-\frac{GMm}{r} \hspace{3cm}(2.3) $$ Перепишем полученное соотношение следующим образом: $$ dt=\frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{m}(E-\frac{L^2}{2mr^2}+\frac{GMm}{r})}} \hspace{3cm}(2.4)$$ Из соотношения (2.2) следует: $$ d\phi=\frac{L}{mr^2}dt $$ Подставляя вместо $dt$ выражение (2.4), получаем: $$ d\phi=\frac{L}{r^2}\frac{dr}{\sqrt{2m(E-\frac{L^2}{2mr^2}+\frac{GMm}{r})}} \hspace{3cm}(2.5) $$ Чтобы проинтегрировать полученное выражение, перепишем выражение, стоящее под корнем в скобках, в следующем виде: $$ E-( (\frac{GMm^{3/2}}{\sqrt{2}L})^2 — \frac{GMm}{r} + \frac{L^2}{2mr^2} ) + (\frac{GMm^{3/2}}{\sqrt{2}L})^2=$$ $$ =E-(\frac{GMm^{3/2}}{\sqrt{2}L}-\frac{L}{r\sqrt{2mr}})^2 + (\frac{GMm^{3/2}}{\sqrt{2}L})^2=$$ $$ =\frac{L^2}{2m}(\frac{2mE}{L^2}+(\frac{GMm^2}{L^2})^2-(\frac{GMm^2}{L^2}-\frac{1}{r})^2) $$ Введем следующее обозначение: $$ \frac{GMm^2}{L^2}\equiv\frac{1}{p} $$ Продолжая преобразования, получаем: $$ \frac{L^2}{2m}(\frac{2mE}{L^2}+(\frac{GMm^2}{L^2})^2-(\frac{GMm^2}{L^2}-\frac{1}{r})^2)=$$ $$\frac{L^2}{2m}(\frac{2mE}{L^2} + \frac{1}{p^2}-(\frac{1}{p}-\frac{1}{r})^2)=$$ $$\frac{L^2}{2m}(\frac{1}{p^2}(1+\frac{2EL^2}{(GM)^2m^3})-(\frac{1}{p}-\frac{1}{r})^2) $$ Введем обозначение: $$ 1+\frac{2EL^2}{(GM)^2m^3} \equiv e^2 $$ В этом случае преобразуемое выражение принимает следующий вид: $$ \frac{L^2e^2}{2mp^2}( 1-( \frac{p}{e} (\frac{1}{p}-\frac{1}{r}) )^2 ) $$ Введем для удобства следующую переменную: $$ z=\frac{p}{e} (\frac{1}{p}-\frac{1}{r}) $$ Теперь уравнение (2.5) принимает вид: $$ d\phi=\frac{p}{er^2}\frac{dr}{\sqrt{1-z^2}}=\frac{dz}{\sqrt{1-z^2}}\hspace{3cm}(2.6) $$ Проинтегрируем полученное выражение: $$ \phi(r)=\int\frac{dz}{\sqrt{1-z^2}}=\arcsin{z}-\phi_0 $$ Здесь $\phi_0$ — конатснта интегрирования. Наконец, получаем закон движения: $$ r(\phi)=\frac{p}{1-e\sin{(\phi+\phi_0)}} $$ Положив константу интегрирования $\phi_0=\frac{3\pi}{2}$ (данное значение соответствует экстремуму функции $r(\phi)$), окончательно получаем: $$r(\phi)=\frac{p}{1+e\cos{\phi}} \hspace{3cm}(2.7)$$ $$p=\frac{L^2}{GMm^2}$$ $$e=\sqrt{1+\frac{2EL^2}{(GM)^2m^3}}$$ Из курса аналитической геометрии известно, что выражение, полученное для функции $r(\phi)$, описывает кривые второго порядка: эллипс, параболу и гиперболу. Параметры $p$ и $e$ называют, соответственно, фокальным параметром и эксцентриситетом кривой.

Фокальный параметр может принимать любое положительное значение, а величина эксцентриситета определяет вид траектории: если $e\in[0,1)$, то она является эллипсом, $e=1$ соответствует параболе, а $e>1$ — гиперболе.

Нулевое значение эксцентриситета соответствует окружности, радиус которой равен фокальному параметру.

Чтобы осмыслить полученный результат рассмотрим следующий пример. Пусть в роли центрального тела выступает Земля, а уравнение (2.7) описывает движение спутника вокруг нее.

Пусть в некоторый момент времени этот спутник находится на расстоянии $r_0$ от центра масс Земли и имеет скорость $v_0$, так что вектор скорости перпендикулярен радиус-вектору. Для удобства введем коэффициент $k$, равный отношению скорости $v_0$ к первой космической скорости $V_1=\sqrt{GM/r_0}$.

Т.е. $v_0=k\sqrt{GM/r_0}$. В этом случае, используя (2.1), (2.2) и (2.7), получаем выражение для эксцентриситета: $$ e = \sqrt{1+k^2(k^2-2)} $$ Если $k=1$, т.е. тело имеет скорость, в точности равную первой космической, то $e=0$ и тело движется по круговой траектории. Если $k=\sqrt{2}$, т.е. тело движется со второй космической скоростью, то $e=1$ и тело удаляется от Земли по параболе.

Если $k=\sqrt{2}$, т.е. тело движется со второй космической скоростью, то $e=1$ и тело удаляется от Земли по параболе.

При больших значениях коэффициента, то есть, при скоростях, превышающих вторую космическую, тело также будет удаляться от Земли, но по гиперболе. На рисунке ниже показаны возможные траектории движения тела в центрально-симметричном гравитационном поле при различных значениях коэффициента k.

В заключение стоит отметить, что математические выкладки, представленные выше, получены из условия,что гравитационное поле обладает сферической симметрией.

В реальности это не так. Например, если речь идет о гравитационном поле Земли, то оно искажается как «сплюснутостью» планеты, так и ее неоднородностью. Если речь идет о движении планет, то их взаимное притяжение также нарушает сферическую симметрию гравитационного поля. Так что траектории движения как искусственных спутников Земли, так и планет, строго говоря, не являются эллиптическими: имеют место отклонения — так называемые возмущения орбиты.

Однако орбиты все-таки остаются близки к эллиптическим. Литература 1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.

Теоретическая физика: Учеб.пособие.— В10-ти т. Т.I. Механика.—4-еизд.,испр.—М.:Наука.Гл.ред.физ.-мат.лит.,1988. 2. Энциклопедия «Космонавтика»: М.:Советская энциклопедия.

Под ред. Глушко В.П., 1985. 3. 4.

Третий закон Кеплера (1619 г.):

Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит:Третий закон Кеплера выполняется для всех планет Солнечной системы с точностью выше 1 %.На рис. 1.24.4 изображены две орбиты, одна из которых – круговая с радиусом R, а другая – эллиптическая с большой полуосью a.

Третий закон утверждает, что если R = a, то периоды обращения тел по этим орбитам одинаковы.Рисунок 1.24.4.

Круговая и эллиптическая орбиты. При R = a периоды обращения тел по этим орбитам одинаковыМодель. Законы КеплераНесмотря на то, что законы Кеплера явились важнейшим этапом в понимании движения планет, они все же оставались только эмпирическими правилами, полученными из астрономических наблюдений.

Законы Кеплера нуждались в теоретическом обосновании. Решающий шаг в этом направлении был сделан Исааком Ньютоном, открывшим в 1682 году закон всемирного тяготения:где M и m – массы Солнца и планеты, R – расстояние между ними, G = 6,67·10–11 Н·м2/кг2 – гравитационная постоянная. Ньютон первый высказал мысль о том, что гравитационные силы определяют не только движение планет Солнечной системы; они действуют между любыми телами Вселенной.

В частности, уже говорилось, что сила тяжести, действующая на тела вблизи поверхности Земли, имеет гравитационную природу.Для круговых орбит первый и второй закон Кеплера выполняются автоматически, а третий закон утверждает, что T2 ~ R3, где Т – период обращения, R – радиус орбиты. Отсюда можно получить зависимость гравитационной силы от расстояния.
Отсюда можно получить зависимость гравитационной силы от расстояния.

При движении планеты по круговой траектории на нее действует сила, которая возникает за счет гравитационного взаимодействия планеты и Солнца:Если T2 ~ R3, тоСвойство консервативности гравитационных сил позволяет ввести понятие потенциальной энергии. Для сил всемирного тяготения удобно потенциальную энергию отсчитывать от бесконечно удаленной точки.Потенциальная энергия тела массы m, находящегося на расстоянии r от неподвижного тела массы M, равна работе гравитационных сил при перемещении массы m из данной точки в бесконечность.Математическая процедура вычисления потенциальной энергии тела в гравитационном поле состоит в суммировании работ на малых перемещениях (рис.

1.24.5).Рисунок 1.24.5. Вычисление потенциальной энергии тела в гравитационном полеЗакон всемирного тяготения применим не только к точеным массам, но и к сферически симметричным телам.

Работа

гравитационной силы

на малом перемещении

есть:Полная работа при перемещении тела массой m из начального положения в бесконечность находится суммированием работ ΔAi на малых перемещениях:В пределе при Δri → 0 эта сумма переходит в интеграл. В результате вычислений для потенциальной энергии получается выражениеЗнак «минус» указывает на то, что гравитационные силы являются силами притяжения.Если тело находится в гравитационном поле на некотором расстоянии r от центра тяготения и имеет некоторую скорость υ, его полная механическая энергия равнаВ соответствии с законом сохранения энергии полная энергия тела в гравитационном поле остается неизменной.Полная энергия может быть положительной и отрицательной, а также равняться нулю.

Знак полной энергии определяет характер движения небесного тела (рис.

1.24.6).При E = E1 < 0 тело не может удалиться от центра притяжения на расстояние r> rmax. В этом случае небесное тело движется по эллиптической орбите (планеты Солнечной системы, кометы).Рисунок 1.24.6.

Диаграмма энергий тела массой m в гравитационном поле, создаваемом сферически симметричным телом массой M и радиусом RПри E = E2 = 0 тело может удалиться на бесконечность. Скорость тела на бесконечности будет равна нулю. Тело движется по параболической траектории.При E = E3 > 0 движение происходит по гиперболической траектории.

Тело удаляется на бесконечность, имея запас кинетической энергии.Законы Кеплера применимы не только к движению планет и других небесных тел в Солнечной системе, но и к движению искусственных спутников Земли и космических кораблей. В этом случае центром тяготения является Земля.Первой космической скоростью называется скорость движения спутника по круговой орбите вблизи поверхности Земли.Эту скорость необходимо набрать, чтобы преодолеть притяжение Земли и вывести тело (например, спутник) на орбиту Земли.Второй космической скоростью называется минимальная скорость, которую нужно сообщить космическому кораблю у поверхности Земли, чтобы он, преодолев земное притяжение, превратился в искусственный спутник Солнца (искусственная планета).

Рекомендуем прочесть:  Приходно расходный ордер образец

При этом корабль будет удаляться от Земли по параболической траектории.Рис. 1.24.7 иллюстрирует космические скорости.

Если скорость космического корабля равна υ1 = 7.9·103 м/с и направлена параллельно поверхности Земли, то корабль будет двигаться по круговой орбите на небольшой высоте над Землей. При начальных скоростях, превышающих υ1, но меньших υ2 = 11,2·103 м/с, орбита корабля будет эллиптической. При начальной скорости υ2 корабль будет двигаться по параболе, а при еще большей начальной скорости – по гиперболе.Рисунок 1.24.7.

При начальной скорости υ2 корабль будет двигаться по параболе, а при еще большей начальной скорости – по гиперболе.Рисунок 1.24.7. Космические скорости. Указаны скорости вблизи поверхности Земли.

1: υ = υ1 – круговая траектория; 2: υ1 < υ>< υ2 – эллиптическая траектория; 3: υ="11,1·103" м/с – сильно вытянутый эллипс; 4: υ="υ2" – параболическая траектория; 5: υ> υ2 – гиперболическая траектория; 6: траектория ЛуныТретья космическая скорость равна примерно 16,6·103 м/сек (при запуске на высоте 200 км над земной поверхностью) и необходима для преодоления гравитации сначала Земли, а затем и Солнца и выхода за пределы Солнечной системы.

Сейчас два искусственных спутника развили такую скорость Пионер-10 и Пионер-11, запущенные 2 марта 1972 и 6 апреля 1973 года соответственно. В данный момент аппараты покинули пределы Солнечной системы. Опубликовано в разделах: ,

Третий закон Кеплера

Квадрат орбитального периода расположен в прямой пропорциональности кубу орбитальной полуоси.

опубликовали в 1619 году. Отображает связь между дистанцией планет к Солнцу и их орбитальными периодами. В формуле выражается как P2œa3, где Р – орбитальный период планеты, а – полуосновная ось.

Квадрат орбитального периода расположен в прямой пропорциональности кубу орбитальной полуоси.

ИНФОФИЗ — мой мир.

Тема: Законы Кеплера.

Определение масс небесных тел Цель занятия: Освоить методику решения задач, используя законы движения планет. Теоретические сведения При решении задач неизвестное движение сравнивается с уже известным путём применения законов Кеплера и формул синодического периода обращения.

Первый закон Кеплера. Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце. Второй закон Кеплера. Радиус-вектор планеты описывает в равные времена равные площади. Третий закон Кеплера. Квадраты времен обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит: Для определения масс небесных тел применяют обобщённый третий закон Кеплера с учётом сил всемирного тяготения:

, где М1 и М2 -массы каких-либо небесных тел, а m1 и m2 — соответственно массы их спутников.

Обобщённый третий закон Кеплера применим и к другим системам, например, к движению планеты вокруг Солнца и спутника вокруг планеты.

Для этого сравнивают движение Луны вокруг Земли с движением спутника вокруг той планеты, массу которой определяют, и при этом массами спутников в сравнении с массой центрального тела пренебрегают.

При этом в исходной формуле индекс надо отнести к движению Луны вокруг Земли массой , а индекс 2 –к движению любого спутника вокруг планеты массой . Тогда масса планеты вычисляется по формуле:

, где Тл и αл- период и большая полуось орбиты спутника планеты , М⊕ -масса Земли.

Формулы, определяющие соотношение между сидерическим (звёздным) Т и синодическим периодами S планеты и периодом обращения Земли , выраженными в годах или сутках, а) для внешней планеты формула имеет вид: б) для внутренней планеты: Выполнение работы Задание 1.

За какое время Марс, находящийся от Солнца примерно в полтора раза, чем Земля, совершает полный оборот вокруг Солнца? Задание 2. Вычислить массу Юпитера, зная, что его спутник Ио совершает оборот вокруг планеты за 1,77 суток, а большая полуось его орбиты – 422 тыс.

км Задание 3. Противостояния некоторой планеты повторяются через 2 года. Чему равна большая полуось её орбиты?

Задание 4. Определите массу планеты Уран (в массах Земли), если известно, что спутник Урана Титания обращается вокруг него с периодом 8,7 сут. на среднем расстоянии 438 тыс. км. для луны эти величины равны соответственно 27,3 сут.

и 384 тыс. км. Задание 5. Марс дальше от Солнца, чем Земля, в 1.5 раза.

Какова продолжительность года на Марсе? Орбиты планет считать круговыми.

Задание 6. Синодический период планеты 500 суток.

Определите большую полуось её орбиты и звёздный (сидерический) период обращения.

Задание 7. Определить период обращения астероида Белоруссия если большая полуось его орбиты а=2,4 а.е. Задание 8. Звёздный период обращения Юпитера вокруг Солнца Т=12 лет. Каково среднее расстояние от Юпитера до Солнца?

Примеры решения задач 1-4 Задание 1.

За какое время Марс, находящийся от Солнца примерно в полтора раза, чем Земля, совершает полный оборот вокруг Солнца? Задание 2. Вычислить массу Юпитера, зная, что его спутник Ио совершает оборот вокруг планеты за 1,77 суток, а большая полуось его орбиты – 422 тыс.

км Задание 3. Противостояния некоторой планеты повторяются через 2 года. Чему равна большая полуось её орбиты? Задание 4. Определите массу планеты Уран (в массах Земли), если известно, что спутник Урана Титания обращается вокруг него с периодом 8,7 сут.

на среднем расстоянии 438 тыс.

км. для луны эти величины равны соответственно 27,3 сут. и 384 тыс. км.

Вклад И.

Ньютона

Исаак Ньютон смог вывести из законов движения планет Кеплера закон всемирного тяготения. Для решения космическо-механических задач Ньютон использовал именно всемирное тяготение.После Исаака прогресс в области небесной механики заключался в развитии математической науки, применяемой для решения уравнений, выражающих законы Ньютона. Этот ученый смог установить, что гравитация планеты определяется расстоянием до нее и массой, а вот такие показатели, как температура и состав, не оказывают никакого влияния.В своей научной работе Ньютон показал, что третий кеплеровский закон не совсем точен.

Он показал, что при подсчетах важно учитывать массу планеты, так как движение и вес планет связаны.

Это гармоническая комбинация показывает связь между кеплеровскими законами и законом тяготения, выявленным Ньютоном.

Второй кеплеровский закон

По другому, его называют законом площадей. Он сообщает, что каждая планета движется в определённой плоскости.

Которая, к тому же, простирается через центр Солнца. Вдобавок радиус-вектор, объединяющий планету и Солнце, заметает собой равные площади за равные промежутки времени.

В Солнечной системе планеты движутся вокруг Солнца совсем непостоянно. Например, от самой ближней точки орбиты до главной звезды наблюдается большая скорость, чем от самой дальней точки.

Действительно, мы наблюдаем такое явление в начале года. Видимое движение Солнца проходит быстрее, нежели в другое время. Так как Земля в это время расположена на ближнем пункте орбиты.

Кстати, её называют перигелий.